Matlab: Soluzione un'equazione logaritmica

Question

ho la seguente equazione che voglio risolvere rispetto a:

x = (a-b-c+d)/log((a-b)/(c-d)) 

dove x, sono noti b, c e d. Ho usato Wolfram Alpha per risolvere l'equazione, e il risultato è:

a = b-x*W(-((c-d)*exp(d/x-c/x))/x) 

dove W è la è la funzione log prodotto (Funzione W di Lambert). Potrebbe essere più facile vederlo allo Wolfram Alpha page.

Ho utilizzato la funzione incorporata di Matlab lambertW per risolvere l'equazione. Questo è piuttosto lento, ed è il collo di bottiglia nel mio script. C'è un altro, più veloce, modo di fare questo? Non deve essere preciso fino al decimo decimale.

MODIFICA: Non avevo idea che questa equazione sia così difficile da risolvere. Ecco un'immagine che illustra il mio problema. Le temperature b-d più LMTD variano in ogni fase temporale, ma sono note. Il calore viene trasferito dalla linea rossa (CO2) alla linea blu (acqua). Devo trovare la temperatura "a". Non sapevo che fosse così difficile da calcolare! : P

Answer 1

Un'altra opzione è basata sulla semplice Wright ω function:

a = b - x.*wrightOmega(log(-(c-d)./x) - (c-d)./x); 

purché d ~= c + x.*wrightOmega(log(-(c-d)./x) - (c-d)./x) (cioè, d ~= c+b-a, x è 0/0 in questo caso). Questo è equivalente al ramo principale di Lambert W function, W, che penso sia il ramo di soluzione desiderato.

Proprio come con lambertW, c'è una funzione wrightOmega nella casella degli strumenti di matematica simbolica. Sfortunatamente, questo probabilmente sarà anche lento per un gran numero di input. Tuttavia, è possibile utilizzare il mio wrightOmegaq su GitHub per ingressi a virgola mobile a valori complessi (doppio o singolo). La funzione è più accurata, completamente vettorializzata e può essere da tre a quattro ordini di grandezza più veloce rispetto all'utilizzo dello wrightOmega integrato per gli ingressi a virgola mobile.

Per chi fosse interessato, wrightOmegaq si basa su questo eccellente carta:

Piers W. Lawrence, Robert M. Corless, e David J. Jeffrey, "Algorithm 917: Complex Double-Precision Evaluation of the Wright omega Function," Rapporti ACM su Software matematico, vol. 38, n. 3, articolo 20, pagg. 1-17, aprile 2012.

Questo algoritmo va oltre la convergenza cubica del Halley's method utilizzato in Cleve Moler di Lambert_W e utilizza un metodo radice conoscitiva quarto ordine convergenza (Fritsch, Shafer, & Crowley, 1973) a convergere in non più di due iterazioni.

Inoltre, per velocizzare ulteriormente il numero Lambert_W di Moler utilizzando espansioni in serie, vedere my answer at Math.StackExchange.

Answer 2

Due (combinabili) opzioni:

• È il vostro copione già Vectorized? Valutare la funzione per più di un singolo argomento. L'esecuzione di for i = 1:100, a(i)=lambertw(rhs(i)); end è più lenta di a=lambertw(rhs).
• Se avete a che fare con il ramo a valori reali di LambertW (vale a dire i tuoi argomenti sono nell'intervallo [-1/e, inf)), è possibile utilizzare l'applicazione delle Lambert_W presentato dal Cleve Moler sul File Exchange.