Utilizzo del prodotto punto per determinare se il punto giace su un piano

Question

Dato A: un punto, B: Un punto noto esistere su un piano P, C: il normale del piano P. Posso determinare se A giace su P dal risultato di un prodotto punto tra (A - B) e C è zero? (o entro un certo livello di precisione, probabilmente userò 0.0001f)

Potrei semplicemente mancare qualche ovvio difetto matematico ma questo sembra essere molto più semplice e più veloce di trasformare il punto nello spazio di coordinate di un triangolo a. la risposta a Check if a point is inside a plane segment

Quindi, in secondo luogo, credo; se questo è un controllo valido, sarebbe computazionalmente più veloce che usare le trasformazioni di matrice se tutto ciò che voglio è vedere se il punto è sull'aereo? (e non se si trova all'interno di un poligono su tale piano, probabilmente continuerò a usare le trasformazioni di matrice per quello)

Answer 1

Sei corretto che B si trova sul piano attraverso A e con normale P se e solo se dotProduct (AB , P) = 0.

Per stimare la velocità per questo tipo di cose, è sufficiente contare le moltiplicazioni. Questa formula ha solo tre moltiplicazioni, quindi sarà più veloce di qualsiasi cosa abbia a che fare con le matrici.

Answer 2

Le risposte sopra sono più vicine alla dimostrazione, ma non sufficienti. Dovrebbe essere intuitivo che l'uso di soli due vettori non sia sufficiente perché, per uno, il punto P può essere al di sopra del piano e una linea verticale disegnata da esso sul piano genererebbe comunque un prodotto a punto zero con qualsiasi singolo vettore che giace sul piano, proprio come sarebbe per un punto P sull'aereo. La condizione necessaria e sufficiente è che se due vettori si trovano sul piano poi l'aereo effettivo è rappresentato in modo univoco con il prodotto vettoriale dei due vettori cioè w =u x v. Per definizione, w è il vettore area, che è sempre perpendicolare al piano.

Poi, per il punto P in questione, la costruzione di un terzo vettore s da entrambi u o v deve essere testato contro w dal prodotto scalare, S.T.

w. s = | w || s | cos (90) = 0 implica che il punto P giace sul piano descritto da w, che è a sua volta descritta da vettori u e v.