Modulo di moltiplicazione veloce 2^16 + 1

Question

Il codice IDEA utilizza la moltiplicazione modulo 2^16 + 1. Esiste un algoritmo per eseguire questa operazione senza operatore modulo generale (solo modulo 2^16 (troncamento))? Nel contesto di IDEA, zero viene interpretato come 2^16 (significa che zero non è un argomento della nostra moltiplicazione e non può essere il risultato, quindi possiamo salvare un bit e memorizzare il valore 2^16 come bit pattern 0000000000000000). Mi chiedo come implementarlo in modo efficiente (o se è possibile) senza utilizzare l'operatore modulo standard.

Answer 1

È possibile utilizzare il fatto che (N-1)% N == -1.

Pertanto, (65536 * a)% 65537 == -a% 65537.
Inoltre, -a% 65537 == -a + 1 (mod 65536), quando viene interpretato come 0 65536

uint16_t fastmod65537(uint16_t a, uint16_t b) 
{ 
    uint32_t c; 
    uint16_t hi, lo; 
    if (a == 0) 
     return -b + 1; 
    if (b == 0) 
     return -a + 1; 

    c = (uint32_t)a * (uint32_t)b; 
    hi = c >> 16; 
    lo = c; 
    if (lo > hi) 
     return lo-hi; 
    return lo-hi+1; 
} 

l'unico problema qui è se hi == lo, il risultato sarebbe 0. Per fortuna una suite di test conferma, che in realtà non può essere ...

int main() 
{ 
    uint64_t a, b; 
    for (a = 1; a <= 65536; a++) 
     for (b = 1; b <= 65536; b++) 
     { 
      uint64_t c = a*b; 
      uint32_t d = (c % 65537) & 65535; 
      uint32_t e = m(a & 65535, b & 65535); 
      if (d != e) 
       printf("a * b % 65537 != m(%d, %d) real=%d m()=%d\n", 
         (uint32_t)a, (uint32_t)b, d, e); 
     } 
    } 

uscita: nessuno

Answer 2

In primo luogo, il caso in cui sia a o b è zero. In tal caso, viene interpretato come avente il valore 2^16, quindi elementare modulo aritmetica ci dice che:

result = -a - b + 1; 

, perché (nel contesto IDEA) l'inverso moltiplicativo di 2^16 è ancora 2^16 e i suoi 16 bit più bassi sono tutti zero.

Il caso generale è molto più facile di quello che sembra, ora che abbiamo preso cura della "0" caso speciale (2^16 + 1 è 0x10001):

/* This operation can overflow: */ 
unsigned result = (product & 0xFFFF) - (product >> 16); 
/* ..so account for cases of overflow: */ 
result -= result >> 16; 

Mettere insieme:

/* All types must be sufficiently wide unsigned, e.g. uint32_t: */ 
unsigned long long product = a * b; 
if (product == 0) { 
    return -a - b + 1; 
} else { 
    result = (product & 0xFFFF) - (product >> 16); 
    result -= result >> 16; 
    return result & 0xFFFF; 
}