"sfera in un sacchetto" proiezione piano-sfera

Question

Sto cercando la trasformazione matematica per trasformare i punti su un piano 2D [0,1]x[0,1] sull'unità.

La proiezione più comune sarebbe latitudine-longitudine mappatura interpretando u e v come gli angoli per le coordinate sferiche (cartina u a [0,2PI] e v a [-PI/2, PI/2])

Questo dà forti distorsioni sui poli della sfera. Si può pensare a questa trasformazione come avvolgere la sfera in una carta da bonbon che fa roteare la carta alle due estremità. Ciò darà distorsioni a questi due fini.

La trasformazione che sto cercando può essere quella di mettere la sfera nel mezzo di un foglio e di mettere tutti i lati attorno alla sfera e girarli insieme in un unico punto - in modo da ottenere un piccolo sacchetto di carta con la tua sfera in esso. Questo produce una minima distorsione sul fondo della "borsa" e la massima distorsione sulla parte superiore - e se visto dal basso, la distorsione è uguale in tutte le direzioni.

Qualcuno può dirmi come calcolare questo tipo di mappatura?

Answer 1

La risposta corretta dipende da quale proprietà del requisito originale deve essere preservata poiché ogni distinta proiezione di mappa si distorce in modo distinto. Alcune aree di conservazione, alcune conservano angoli, alcune conservano le distanze.

Supponendo che il caso riguardi le forme, quindi suggerirei un Dymaxion map ma si noti che la sua rappresentazione planare non è completamente rettangolare.

Per altre opzioni vedere l'elenco Colorado University.

Answer 2

Per la mappatura che descrivi, puoi utilizzare le coordinate polari: (x, y) -> (r, alpha), dove r è in [0,1], che rappresenta il rapporto tra la distanza dal centro di il rettangolo O (0.5,0.5) al punto P corrente (x, y) e la lunghezza massima che questo segmento potrebbe avere al valore corrente di alfa. Quindi mappare r su [-PI/2, PI/2] e alpha su [0,2PI].

Answer 3

Penso che stiate cercando lo Exponential Map. Vedi anche Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps.

Answer 4

se si crea uno schizzo del problema usando gli assi x-y da 0 a 1 (cioè il primo quadrante), quindi con la stessa origine disegnare il primo ottante proiettato con i suoi assi da 0 a pi/2. Mark in point (1,1) dall'origine quindi la grandezza di questo punto dall'origine è root (2). Ora puoi vedere che il tuo punto (1,1) non può essere mappato sulla sfera come apparirebbe al di fuori di esso.