Scomporre la trasformazione della matrice complessa in una serie di semplici trasformazioni?

Question

Mi chiedo se è possibile (e se è allora come) per riproporre un arbitrario M3 matrice di trasformazione come una sequenza di trasformazioni più semplici (come tradurre, scala, inclinazione, rotazione)

In altre parole: come calcolare MTranslate, mScale, MRotate, MSkew matrici dal MComplex in modo che la seguente equazione sarebbe vero:

MComplex = MTranslate * mScale * MRotate * MSkew (o in un altro ordine)

Answer 1

Singular Value Decomposition (vedere anche this blog e questo PDF). Trasforma una matrice arbitraria in una composizione di 3 matrici: ortogonale + diagonale + ortogonale. Le matrici ortogonali sono matrici di rotazione; la matrice diagonale rappresenta l'inclinazione lungo gli assi primari = ridimensionamento.

La traduzione getta una chiave inglese nel gioco, ma quello che dovresti fare è estrarre la parte di traduzione della matrice in modo da avere una matrice 3x3, eseguire SVD su quella per darti la rotazione + inclinazione, quindi aggiungere la traduzione parte in. In questo modo avrai una rotazione + scala + rotazione + traduci composizione di 4 matrici. Probabilmente è possibile farlo in 3 matrici (rotazione + ridimensionamento lungo un insieme di assi + traduzione) ma non sono sicuro esattamente come ... forse una decomposizione QR (Q = ortogonale = rotazione, ma non sono sicuro se la R è solo skew o ha una parte rotazionale.)

Answer 2

Sì, ma la soluzione non sarà unica. Inoltre si dovrebbe piuttosto mettere traduzione all'estremità (dell'ordine del resto non importa)

Per ogni matrice quadrata A esistono infiniti matrici B e C modo che A = B*C. Scegli qualsiasi matrice invertibile B (che significa che B^-1 esiste o det (B)! = 0) e ora C = B^-1*A.

Quindi, per la soluzione, decomporre prima MC in MT e MS*MR*MSk*I, scegliendo MT come matrice di trasposizione invertibile. Quindi decomponi il resto in MS e MR*MSk*I in modo che MS sia una matrice di ridimensionamento arbitraria. E così via ...

Ora se alla fine del divertimento I è una matrice di identità (con 1 su diagonale, 0 altrove) sei bravo. Se non lo è, ricomincia, ma scegli diverse matrici ;-)

Infatti, utilizzando il metodo sopra simbolicamente puoi creare un insieme di equazioni che ti forniranno formule parametrizzate per tutte queste matrici.

Quanto sono utili queste scomposizioni per te, beh, questa è un'altra storia.

Se si digita questo in Mathematica o Maxima faranno calcolare questo per voi in poco tempo.