Come impostare l'equazione quadratica per un'intersezione raggio/sfera?

Question

che sto ricercando la matematica per un ray tracer, ma io non sto seguendo una transizione che è fatto in quasi ogni articolo che ho letto sull'argomento. Questo è quello che ho:

Formula per una sfera:

(X - Cx)^2 + (Y - Cy)^2 + (Z - Cz)^2 - R^2 = 0

dove r è il raggio, C è il centro, e X, Y, Z sono tutti i punti della sfera.

Formula per una linea:

X + DxT, Y + DYT, Z + DZT

dove D è un vettore di direzione normalizzato per la linea e X, Y, Z sono tutti i punti sulla linea, e T è un parametro per qualche punto della linea.

Sostituendo i componenti della linea nell'equazione sfera, otteniamo:

(X + DxT - Cx)^2 + (Y + DYT - Cy)^2 + (Z + DZT - Cz)^2 - R^2 = 0

Seguo tutto fino a quel punto (almeno penso di sì), ma poi ogni tutorial che ho letto fa un salto da quello a un'equazione quadratica senza spiegarlo (questo è copiato da uno dei siti, in modo che i termini sono un po 'diverso dal mio esempio):

a = Xd^2 + Yd^2 + Zd^2

.210

B = 2 * (Xd * (X0 - Xc) + Yd * (Y0 - Yc) + Zd * (Z0 - Zc))

C = (X0 - Xc)^2 + (Y0 - Yc)^2 + (Z0 - Zc)^2 - Sr^2

Ottengo come poi risolvere per T usando la formula quadratica, ma non capisco come ottengano l'equazione quadratica dalle formule sopra. Suppongo che sia solo un pezzo di conoscenza matematica comune che ho dimenticato da tempo, ma cercare su Google come "impostare un'equazione quadratica" non ha dato alcun risultato.

Mi piacerebbe davvero capire come arrivare a questo punto prima di passare, come non mi piace la scrittura di codice non comprendere appieno.

Answer 1

Da qui:

(X + DxT - Cx)^2 + (Y + DyT - Cy)^2 + (Z + DzT - Cz)^2 - R^2 = 0 

Espandere i tre quadrato termini, in modo da avere una lunga espressione:

X^2 + Dx^2T^2 + Cx^2 + 2XDxT - 2XCx - 2DxTCx + ...... = 0 

(Ciò è dovuto utilizzare la formula (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)

Poi gruppo quindi hai fattori di T^2, T e 1:

Questi fattori sono A, B, C sopra riportati. Questa è un'equazione quadratica per T e può essere risolta usando la formula quadratica.

Answer 2

Ecco una dettagliata procedura dettagliata di ogni passaggio; spero che questo renderà le cose chiare.L'equazione di una sfera tridimensionale è:

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2

con <a, b, c> essere il centro della sfera e r suo raggio. Il punto <x, y, z> si trova sulla sfera se soddisfa questa equazione.

Le equazioni parametriche per un raggio sono:

• X = xo + xd*t
• Y = yo + yd*t
• Z = zo + zd*t

dove <xo, yo, zo> è l'origine del raggio, e <xd,yd,yd> è la direzione del raggio della telecamera.

Per trovare l'intersezione, vogliamo vedere quali punti sul raggio sono gli stessi punti sulla sfera. Quindi sostituiamo l'equazione raggio nell'equazione sfera:

(xo + xd*t - a)^2 + (yo + yd*t - b)^2 + (zo + zd*t - c)^2 = r^2

che si espande a:

(xd^2 + yd^2 + zd^2)        * t^2 + 
    [2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]] * t + 
    [(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2]  * 1 
    = 0 

Si noti che questo è un'equazione quadratica in forma At^2 + Bt + C = 0, con:

• A = (xd^2 + yd^2 + zd^2)
• B = [2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]]
• C = [(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2]

si può applicare la formula quadratica generale per una variabile sconosciuta, che è:

t = [-B +- sqrt(B^2 - 4AC)]/2A 

La porzione B^2 - 4AC è chiamato "discriminante". A seconda del valore del discriminante, avremo zero, uno, o due soluzioni a questa equazione:

• Se è minore di zero, la soluzione è un numero immaginario, e il raggio e la sfera non lo fanno si intersecano nel piano reale.

• Se è uguale a zero, il raggio interseca la sfera esattamente a 1 punto (è esattamente tangente alla sfera).

• Se è maggiore di zero, il raggio interseca la sfera esattamente a 2 punti.

Se il discriminante indica che non c'è soluzione, il gioco è fatto! Il raggio non interseca la sfera. Se il discriminante indica almeno una soluzione, è possibile risolvere per t per determinare il punto di intersezione. Le due soluzioni sono:

t_1 = [-B + sqrt(B^2 - 4AC)]/2A 
t_2 = [-B - sqrt(B^2 - 4AC)]/2A 

La soluzione più piccola è il punto in cui il raggio colpisce per primo la sfera.