Detect "Kinks" in linee parallele in curve di Bezier

Question

Speravo che qualcuno potesse aiutarmi a capire un metodo computazionalmente economico per rilevare nodi in una linea tracciata parallelamente ad una curva di Bézier, come potete vedere qui

Quello che mi piacerebbe fare è essere in grado di determinare l'intersezione del nodo, il segmento con un punto di partenza prima dell'intersezione e il primo segmento con un punto finale dopo il nodo. In questo modo posso semplicemente rimuovere tutti i segmenti non necessari e regolare il primo e l'ultimo segmento da incontrare all'incrocio.

Mi scuso se sto usando i termini sbagliati. Ma per quanto ho capito, il modo in cui sto posizionando questi segmenti è determinando il vettore unitario dei segmenti per la curva di Bezier (giallo) e moltiplicandolo per l'offset e trovando il vettore normale per creare due nuovi punti di inizio e fine per il segmento offset (bianco).

La matematica non è il mio forte seme quindi spero che qualcuno possa darmi una spinta nella giusta direzione.

EDIT: L'immagine è stata ridimensionata in realtà da HTML, quindi se hai difficoltà a vedere di cosa sto parlando ecco il link diretto: http://i.stack.imgur.com/xtils.png

Answer 1

In prima approssimazione, calcolare la radius of curvature del vostro Bezier curve. Se l'offset è maggiore o uguale al raggio di curvatura, dovresti cercare un nodo.

In particolare, per una Bezier cubica con punti di controllo P0, P1, P2, P3:

B(t) = P0 * (1-t)^3 + P1 * 3*t*(1-t)^2 + P2 * 3*t^2*(1-t) + P3 * t^3 
-> B'(t) = (P1-P0) * 3*(1-t)^2 + (P2-P1) * 6*t*(1-t) + (P3-P2) * 3*t^2 
-> B''(t) = (P2+P0-2*P1) * 6*(1-t) + (P3+P1-2*P2) * 6*t 

let: cross2d(p, q) = p.x*q.y - p.y*q.x 
then, radius of curvature = |B'(t)|^3/cross2d(B'(t), B''(t)) 

ho lasciato il raggio di curvatura in forma firmata; il segno dovrebbe indicare il lato della curva su cui ci si può aspettare il nodo.

Nota: è possibile avere un raggio di curvatura pari a zero o un raggio di curvatura infinito; potrebbe essere meglio confrontare |B'(t)|^3 con signed_offset * cross2d(B'(t), B''(t)) invece.