numero di parentesi per il numero fisso di coppie "()"

Question

Dire che vorremmo contare il numero di diverse parentesi di n coppie di parentesi ma con un numero fisso di coppie "()". Come contiamo questi.

es: per n = 3. Per esempio 3 coppie di parenthesizations, se vogliamo numero di parenthizations con k = 2 coppie di "()" il numero di modi è 3.

() (())

(())()

(()())

per n = 4, k = 2, sarà 6

((()()))

() ((()))

(()) (())

(() (()))

((()))()

((())())

Answer 1

sono abbastanza sicuro che questo è A001263, alias i numeri Narayana, e che la formula è

T(n,k) = C(n-1,k-1) C(n,k-1)/k with 1<=k<=n 

Un'interpretazione di A001263 è che T (n, k) è il numero di Dyck n-percorsi con esattamente picchi k, e si può interpretare ogni passo Dyck sia come ( o ) e ogni picco come ().