Come risolvere l'equazione differenziale usando la funzione incorporata di Python odeint?

Question

Voglio risolvere questo equazioni differenziali con le date condizioni iniziali:

(3x-1)y''-(3x+2)y'+(6x-8)y=0, y(0)=2, y'(0)=3 

i ans dovrebbero essere

y=2*exp(2*x)-x*exp(-x)

qui è il mio codice:

def g(y,x): 
    y0 = y[0] 
    y1 = y[1] 
    y2 = (6*x-8)*y0/(3*x-1)+(3*x+2)*y1/(3*x-1) 
    return [y1,y2] 

init = [2.0, 3.0] 
x=np.linspace(-2,2,100) 
sol=spi.odeint(g,init,x) 
plt.plot(x,sol[:,0]) 
plt.show() 

ma ciò che ottengo è diverso dalla risposta. cosa ho fatto di sbagliato?

Answer 1

Qui ci sono diverse cose sbagliate. In primo luogo, la tua equazione apparentemente è

(3x-1) y '' - (3x + 2) y '- (6x-8) y = 0; y (0) = 2, y '(0) = 3

(notare il segno del termine in y). Per questa equazione, la tua soluzione analitica e la definizione di y2 sono corrette.

secondo luogo, come dice il @Warren Weckesser, è necessario passare 2 parametri come y a g: y[0] (y), y[1] (Y ') e restituire loro derivati, y' ey ''.

In terzo luogo, le condizioni iniziali sono date per x = 0, ma la griglia x da integrare inizia a -2. Dalla documentazione per odeint, questo parametro, t nella loro descrizione firma chiamata:

odeint(func, y0, t, args=(),...):

t: array Una sequenza di punti di tempo per cui risolvere per y. Il punto di valore iniziale dovrebbe essere il primo elemento di questa sequenza.

Quindi è necessario integrare a partire da 0 o fornire condizioni iniziali a partire da -2.

Infine, l'intervallo di integrazione copre una singolarità con x = 1/3. odeint potrebbe avere un brutto momento qui (ma a quanto pare non lo fa).

Ecco un approccio che sembra funzionare:

import numpy as np 
import scipy as sp 
from scipy.integrate import odeint 
import matplotlib.pyplot as plt 

def g(y, x): 
    y0 = y[0] 
    y1 = y[1] 
    y2 = ((3*x+2)*y1 + (6*x-8)*y0)/(3*x-1) 
    return y1, y2 

# Initial conditions on y, y' at x=0 
init = 2.0, 3.0 
# First integrate from 0 to 2 
x = np.linspace(0,2,100) 
sol=odeint(g, init, x) 
# Then integrate from 0 to -2 
plt.plot(x, sol[:,0], color='b') 
x = np.linspace(0,-2,100) 
sol=odeint(g, init, x) 
plt.plot(x, sol[:,0], color='b') 

# The analytical answer in red dots 
exact_x = np.linspace(-2,2,10) 
exact_y = 2*np.exp(2*exact_x)-exact_x*np.exp(-exact_x) 
plt.plot(exact_x,exact_y, 'o', color='r', label='exact') 
plt.legend() 

plt.show()