Numero massimo di cifre decimali che possono influenzare un doppio

Question

Considera le rappresentazioni decimali del modulo d1.d2d3d4d5 ... dnExxx dove xxx è un esponente arbitrario e entrambi d1 e dn sono diversi da zero.

È il massimo n noto tale che esiste una rappresentazione decimale d1.d2d3d4d5 ... dnExxx tale che l'intervallo (d1.d2d3d4d5 ... dnExxx, d1.d2d3d4d5 ... ((dn) +1) Exxx) contiene un IEEE 754 doppio?

n deve essere almeno 17. La domanda è: quanto sopra 17.

Questo numero n ha qualcosa a che fare con il numero di cifre che è sufficiente prendere in considerazione in una conversione decimale a doppia tale come strtod(). Ho guardato il codice sorgente per David M. Gay's implementation sperando di trovare una risposta lì. C'è un'allusione a "40", ma non è chiaro se questa sia una conseguenza di un suono risultato matematico o solo di un limite statisticamente sicuro. Anche il commento sul "troncamento" fa sembrare che 0.5000000000000000000000000000000000000000000000000001 possa essere convertito in 0.5 in modalità round-upwards.

Musl's implementation sembra leggere circa 125 * 9 cifre, che è molto. Poi passa in modalità “appiccicoso”:

if (c!='0') x[KMAX-4] |= 1; 

Infine, come fa il cambiamento risposta quando sostituendo “contiene un IEEE 754 doppia” con “contiene il punto medio di due consecutivi IEEE 754 doppi”?

Answer 1

Quando si dispone di un numero di sotto della norma con significando dispari, cioè un multiplo dispari di 2^(-1074), si dispone di un numero diverso da zero il cui ultima cifra nella rappresentazione decimale è il 1074 ° dopo il punto decimale. Hai quindi circa 300 zeri che seguono direttamente il punto decimale, quindi il numero ha circa 750-770 cifre decimali significative. Il più piccolo subnormale positivo, 2^(-1074) ha 751 cifre significative e il più grande subnormale positivo, (2^52-1)*2^(-1074) ha 767 cifre significative (penso che sia il massimo).

Quindi c'è almeno una sequenza d1, ..., d766 di cifre decimali tale che vi sia un IEEE754 double nell'intervallo aperto

(d1.d2...d766E-308, d1.d2...(d766 + 1)E-308) 

La risposta non cambia molto se consideriamo "contiene il punto medio di due IEEE754 consecutivi double s ", poiché i subnormali double s hanno tutti all'incirca la stessa quantità di cifre decimali significative e anche il punto medio di due consecutivi.

Nel caso peggiore, l'intera sequenza di cifre deve essere consumato (non "0.5000000...0001" con un numero arbitrario di zeri prima della finale 1 che determina che il risultato sia 0.5 + 0.5^53 e non 0.5 quando arrotondamento per eccesso o verso l'alto).

Tuttavia, ci sono solo

floor(DBL_MANT_DIG * log 2/log 10) + 2 = 17 

cifre decimali significative necessarie per distinguere tra diverse double valori, in modo relativamente facile, anche se probabilmente non molto efficiente, metodo di analisi sarebbe quello di analizzare la prima (almeno 17) cifre (e l'esponente) al più vicino double e confrontare la stringa di input con la rappresentazione esatta di quel valore double (e il suo vicino).