Come implementare la derivata Softmax indipendentemente da qualsiasi funzione di perdita?

Question

Per una libreria di reti neurali ho implementato alcune funzioni di attivazione e funzioni di perdita e le loro derivate. Possono essere combinati in modo arbitrario e il derivato ai livelli di output diventa semplicemente il prodotto della derivata di perdita e la derivata dell'attivazione.

Tuttavia, non sono riuscito a implementare la derivata della funzione di attivazione di Softmax indipendentemente da qualsiasi funzione di perdita. A causa della normalizzazione, ovvero il denominatore nell'equazione, la modifica di una singola attivazione di ingresso modifica tutte le attivazioni di uscita e non solo una.

Ecco la mia implementazione di Softmax in cui la derivata non supera il controllo del gradiente di circa l'1%. Come posso implementare il derivato Softmax in modo che possa essere combinato con qualsiasi funzione di perdita?

import numpy as np 


class Softmax: 

    def compute(self, incoming): 
     exps = np.exp(incoming) 
     return exps/exps.sum() 

    def delta(self, incoming, outgoing): 
     exps = np.exp(incoming) 
     others = exps.sum() - exps 
     return 1/(2 + exps/others + others/exps) 


activation = Softmax() 
cost = SquaredError() 

outgoing = activation.compute(incoming) 
delta_output_layer = activation.delta(incoming) * cost.delta(outgoing) 

Answer 1

Matematicamente, il derivato di Softmax (Xi) rispetto a Xj è:

dove il delta rosso è un delta di Kronecker.

Se si implementa in modo iterativo:

def softmax_grad(s): 
    # input s is softmax value of the original input x. Its shape is (1,n) 
    # e.i. s = np.array([0.3,0.7]), x = np.array([0,1]) 

    # make the matrix whose size is n^2. 
    jacobian_m = np.diag(s) 

    for i in range(len(jacobian_m)): 
     for j in range(len(jacobian_m)): 
      if i == j: 
       jacobian_m[i][j] = s[i] * (1-s[i]) 
      else: 
       jacobian_m[i][j] = -s[i]*s[j] 
    return jacobian_m 

prova:

In [95]: x 
Out[95]: array([1, 2]) 

In [96]: softmax(x) 
Out[96]: array([ 0.26894142, 0.73105858]) 

In [97]: softmax_grad(softmax(x)) 
Out[97]: 
array([[ 0.19661193, -0.19661193], 
     [-0.19661193, 0.19661193]]) 

Se si implementa in un vettorizzati versione:

soft_max = softmax(x)  

# reshape softmax to 2d so np.dot gives matrix multiplication 

def softmax_grad(softmax): 
    s = softmax.reshape(-1,1) 
    return np.diagflat(s) - np.dot(s, s.T) 

softmax_grad(soft_max) 

#array([[ 0.19661193, -0.19661193], 
#  [-0.19661193, 0.19661193]]) 

Answer 2

Dovrebbe essere così: (x è l'ingresso allo strato SoftMax e dy è il delta proviene dalla perdita di sopra di esso)

dx = y * dy 
    s = dx.sum(axis=dx.ndim - 1, keepdims=True) 
    dx -= y * s 

    return dx 

Ma il modo di calcolare l'errore dovrebbe essere :

yact = activation.compute(x) 
    ycost = cost.compute(yact) 
    dsoftmax = activation.delta(x, cost.delta(yact, ycost, ytrue)) 

Spiegazione: Poiché la funzione delta è una parte dell'algoritmo backpropagation, la sua responsabilità è di moltiplicare il vettore dy (nel mio codice, outgoing nel tuo caso) dal Jacobian della funzione compute(x) valutata a x. Se lavori a cosa somiglia a Jacobian per softmax [1], e poi moltiplicalo da sinistra con un vettore dy, dopo un po 'di algebra scoprirai che ottieni qualcosa che corrisponde al mio codice Python.

[1] https://stats.stackexchange.com/questions/79454/softmax-layer-in-a-neural-network