Support Vector Machines - che separano domanda iperpiano

Question

Da quello che ho visto, sembra che l'iperpiano di separazione deve essere in forma

x.w + b = 0.

Non ottengo molto bene questa notazione. Da quanto ho capito, x.w è un prodotto interno, quindi il risultato sarà uno scalare. Come può essere che tu possa rappresentare un iperpiano con uno scalare + b? Sono abbastanza confuso con questo.

Inoltre, anche se era x + b = 0, non sarebbe di un iperpiano che passa proprio attraverso l'origine? Da quello che ho capito, un iperpiano separatore non passa sempre attraverso l'origine!

Answer 1

È l'equazione di un (iper) piano che utilizza un punto e un vettore normale.
pensi al piano, come l'insieme dei punti P tale che il vettore passando da P0 a P è perpendicolare alla normale

alt text http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Plane_1001.gif

Partenza queste pagine per spiegazione:

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Answer 2

Immagina un piano in un sistema di coordinate 3D. Per descriverlo, hai bisogno di un normale vettore N di quel piano e della distanza D del piano rispetto all'origine. Per semplicità, supponiamo che il vettore normale abbia una lunghezza unitaria. Quindi l'equazione per quel piano è xN - D = 0.

Spiegazione: xN può essere visualizzato come una proiezione di x sul vettore normale N. Il risultato è la lunghezza del vettore x parallela a N. Se questa lunghezza è uguale a D, il punto x è sull'aereo.

Answer 3

Una definizione di prodotto punto (che è un prodotto interno) è

x. y = | x | * | y | * Cos (a)

dove A è l'angolo più piccolo tra x e y.

È facile vedere che x. y = 0, se a = 90 gradi (pi rad).

Questo significa che se si dispone di un vettore normale fisso w, un iperpiano data da:

x. w = 0

è l'insieme di tutti i punti che x può "punto", dato che x deve essere ortogonale a w.

Ora, un iperpiano dato da:

x. w + b = 0

è l'insieme di tutti i punti che x può "punto" tale che x. w è una costante. Come x si allunga, | x | aumenta, l'angolo, a, deve avvicinarsi a 90 gradi (pi rad), cos (a) diminuisce, per produrre lo stesso risultato costante. Se tuttavia si prende x indicando esattamente la direzione opposta di w, cos (a) = -1 e | x | = b (a condizione che w sia di lunghezza unitaria).

Si scopre che il piano di questo insieme di punti è parallelo a x. w = 0 e ha spostato nello spazio la distanza -b (nella direzione di w) dato che w è di lunghezza unitaria.

Questa risposta probabilmente non aiuterà l'op, ma spero che qualcun altro ne trarrà beneficio.