È necessaria la query di SQL Server per risolvere la regressione polinomiale di terzo ordine

Question

Qualcuno può aiutare con qualche codice di query SQL a fornire stime dei coefficienti di una regressione polinomiale di terzo ordine?

Si prega di pensare che ho una tabella di valori di dati X e Y e voglia di stimare un, B e C:

Y(X) = aX + bX^2 + cX^3 + E 

Answer 1

soluzione approssimata ma veloce sarebbe quello di campionare 4 punti rappresentativi dai dati e risolvere l'equazione polinomiale per questi punti.

1. quanto riguarda il campionamento , è possibile suddividere i dati in settori uguali e calcolare la media di X e Y per ogni settore - divisione può essere fatto utilizzando quartili di valori X, medie di X- valori, min(x)+(max(x)-min(x))/4 o qualsiasi cosa tu pensi sia la più appropriata.

   Per illustrare il campionamento quartili (vale a dire dai numeri di riga):

2. Quanto al risolvere, ho usato numberempire.com risolvere questi * equazioni per le variabili k,a,b,c:

   k + a*X1 + b*X1^2 + c*X1^3 - Y1 = 0, 
   k + a*X2 + b*X2^2 + c*X2^3 - Y2 = 0, 
   k + a*X3 + b*X3^2 + c*X3^3 - Y3 = 0, 
   k + a*X4 + b*X4^2 + c*X4^3 - Y4 = 0 
   

   * Poiché Y(X) = 0 + ax bx^2 + cx^3 + ϵ include implicitamente il punto [0, 0] come uno dei punti campione, creerebbe delle approssimazioni errate per i set di dati che non includono [0, 0]. Mi sono preso la libertà di risolvere Y(X) = k + ax bx^2 + cx^3 + ϵ invece.

Lo SQL attuale sarebbe andato come questo:

select 
    -- returns 1 row with columns labeled K, A, B and C = coefficients in 3rd order polynomial equation for the 4 sample points 
    -(X1*(X2p2*(X3p3*Y4-X4p3*Y3)+X2p3*(X4p2*Y3-X3p2*Y4)+(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)*Y2)+X1p2*(X2*(X4p3*Y3-X3p3*Y4)+X2p3*(X3*Y4-X4*Y3)+(X3p3*X4-X3*X4p3)*Y2)+X1p3*(X2*(X3p2*Y4-X4p2*Y3)+X2p2*(X4*Y3-X3*Y4)+(X3*X4p2-X3p2*X4)*Y2)+(X2*(X3p3*X4p2-X3p2*X4p3)+X2p2*(X3*X4p3-X3p3*X4)+X2p3*(X3p2*X4-X3*X4p2))*Y1)/(X1*(X2p2*(X4p3-X3p3)-X3p2*X4p3+X3p3*X4p2+X2p3*(X3p2-X4p2))+X2*(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)+X1p2*(X3*X4p3+X2*(X3p3-X4p3)+X2p3*(X4-X3)-X3p3*X4)+X2p2*(X3p3*X4-X3*X4p3)+X1p3*(X2*(X4p2-X3p2)-X3*X4p2+X3p2*X4+X2p2*(X3-X4))+X2p3*(X3*X4p2-X3p2*X4)) as k, 
    (X1p2*(X2p3*(Y4-Y3)-X3p3*Y4+X4p3*Y3+(X3p3-X4p3)*Y2)+X2p2*(X3p3*Y4-X4p3*Y3)+X1p3*(X3p2*Y4+X2p2*(Y3-Y4)-X4p2*Y3+(X4p2-X3p2)*Y2)+X2p3*(X4p2*Y3-X3p2*Y4)+(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)*Y2+(X2p2*(X4p3-X3p3)-X3p2*X4p3+X3p3*X4p2+X2p3*(X3p2-X4p2))*Y1)/(X1*(X2p2*(X4p3-X3p3)-X3p2*X4p3+X3p3*X4p2+X2p3*(X3p2-X4p2))+X2*(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)+X1p2*(X3*X4p3+X2*(X3p3-X4p3)+X2p3*(X4-X3)-X3p3*X4)+X2p2*(X3p3*X4-X3*X4p3)+X1p3*(X2*(X4p2-X3p2)-X3*X4p2+X3p2*X4+X2p2*(X3-X4))+X2p3*(X3*X4p2-X3p2*X4)) as a, 
    -(X1*(X2p3*(Y4-Y3)-X3p3*Y4+X4p3*Y3+(X3p3-X4p3)*Y2)+X2*(X3p3*Y4-X4p3*Y3)+X1p3*(X3*Y4+X2*(Y3-Y4)-X4*Y3+(X4-X3)*Y2)+X2p3*(X4*Y3-X3*Y4)+(X3*X4p3-X3p3*X4)*Y2+(X2*(X4p3-X3p3)-X3*X4p3+X3p3*X4+X2p3*(X3-X4))*Y1)/(X1*(X2p2*(X4p3-X3p3)-X3p2*X4p3+X3p3*X4p2+X2p3*(X3p2-X4p2))+X2*(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)+X1p2*(X3*X4p3+X2*(X3p3-X4p3)+X2p3*(X4-X3)-X3p3*X4)+X2p2*(X3p3*X4-X3*X4p3)+X1p3*(X2*(X4p2-X3p2)-X3*X4p2+X3p2*X4+X2p2*(X3-X4))+X2p3*(X3*X4p2-X3p2*X4)) as b, 
    (X1*(X2p2*(Y4-Y3)-X3p2*Y4+X4p2*Y3+(X3p2-X4p2)*Y2)+X2*(X3p2*Y4-X4p2*Y3)+X1p2*(X3*Y4+X2*(Y3-Y4)-X4*Y3+(X4-X3)*Y2)+X2p2*(X4*Y3-X3*Y4)+(X3*X4p2-X3p2*X4)*Y2+(X2*(X4p2-X3p2)-X3*X4p2+X3p2*X4+X2p2*(X3-X4))*Y1)/(X1*(X2p2*(X4p3-X3p3)-X3p2*X4p3+X3p3*X4p2+X2p3*(X3p2-X4p2))+X2*(X3p2*X4p3-X3p3*X4p2)+X1p2*(X3*X4p3+X2*(X3p3-X4p3)+X2p3*(X4-X3)-X3p3*X4)+X2p2*(X3p3*X4-X3*X4p3)+X1p3*(X2*(X4p2-X3p2)-X3*X4p2+X3p2*X4+X2p2*(X3-X4))+X2p3*(X3*X4p2-X3p2*X4)) as c 
    from (select 
     samples.*, 
     -- precomputing the powers should give better performance (at least i hope it would) 
     power(X1,2) X1p2, power(X2,2) X2p2, power(X3,2) X3p2, power(X4,2) X4p2, 
     power(Y1,3) Y1p3, power(Y2,3) Y2p3, power(Y3,3) Y3p3, power(Y4,3) Y4p3 
    from (select 
     avg(case when sector = 1 then x end) X1, 
     avg(case when sector = 2 then x end) X2, 
     avg(case when sector = 3 then x end) X3, 
     avg(case when sector = 4 then x end) X4, 
     avg(case when sector = 1 then y end) Y1, 
     avg(case when sector = 2 then y end) Y2, 
     avg(case when sector = 3 then y end) Y3, 
     avg(case when sector = 4 then y end) Y4 
     from (select x, y, 
      -- splitting to sectors 1 - 4 by row number (SQL Server version) 
      ceiling(row_number() OVER (ORDER BY x asc)/count(*) * 4) sector 
     from original_data 
    ) 
    ) samples 
) 

Secondo developer.mimer.com, queste caratteristiche opzionali devono essere attivato in SQL Server:

T611, "Elementary OLAP operations" 
F591, "Derived tables" 

Answer 2

SQL Server ha un incorporato in classifica la funzione NTILE (n) che creerà più facilmente i tuoi settori. Ho sostituito:

ceiling(row_number() OVER (ORDER BY x asc)/count(*) * 4) sector 

con:

NTILE(4) OVER(ORDER BY x ASC) [sector] 

Ho anche bisogno di aggiungere alcuni "poteri precalcolate" per consentire l'intervallo di colonna completa come selezionato. L'elenco completo viene visualizzato di seguito:

POWER(samples.X1, 2) AS [X1p2], 
POWER(samples.X1, 3) AS [X1p3], 
POWER(samples.X2, 2) AS [X2p2], 
POWER(samples.X2, 3) AS [X2p3], 
POWER(samples.X3, 2) AS [X3p2], 
POWER(samples.X3, 3) AS [X3p3], 
POWER(samples.X4, 2) AS [X4p2], 
POWER(samples.X4, 3) AS [X4p3], 
POWER(samples.Y1, 3) AS [Y1p3], 
POWER(samples.Y2, 3) AS [Y2p3], 
POWER(samples.Y3, 3) AS [Y3p3], 
POWER(samples.Y4, 3) AS [Y4p3] 

Nel complesso, ottima risposta di @Aprillion! Ben spiegato e il numberempire.com h/t è stato molto utile.