Minimo quadrato ponderato: adattare un piano al set di punti 3D

Question

Sto adattando un piano a un set di punti 3D con il metodo dei minimi quadrati. Ho già un algoritmo per farlo, ma voglio modificarlo per usare il minimo ponderato quadrato. Significato Ho un peso per ogni punto (il peso più grande, più vicino l'aereo dovrebbe essere al punto).

L'algoritmo corrente (senza peso) si presenta come segue:

calcolare la somma:

for(Point3D p3d : pointCloud) { 
    pos = p3d.getPosition(); 
    fSumX += pos[0]; 
    fSumY += pos[1]; 
    fSumZ += pos[2]; 
    fSumXX += pos[0]*pos[0]; 
    fSumXY += pos[0]*pos[1]; 
    fSumXZ += pos[0]*pos[2]; 
    fSumYY += pos[1]*pos[1]; 
    fSumYZ += pos[1]*pos[2]; 
} 

che compensare le matrici:

double[][] A = { 
    {fSumXX, fSumXY, fSumX}, 
    {fSumXY, fSumYY, fSumY}, 
    {fSumX, fSumY, pointCloud.size()} 
}; 

double[][] B = { 
    {fSumXZ}, 
    {fSumYZ}, 
    {fSumZ} 
}; 

che risolvere Ax = B e 3 componenti della soluzione sono i coefficienti della pianura montata ...

S o, per favore, aiutami a modificarlo per usare i pesi? Grazie!

Answer 1

intuizione

Un punto x su un piano definito dalla normale n e un punto sul piano p obbedisce: n.(x - p) = 0. Se un punto non giace sul piano, n.(y -p) non sarà uguale a zero, quindi un modo utile per definire un costo è |n.(y - p)|^2. Questa è la distanza quadrata del punto y dall'aereo.

Con pesi uguali, si vuole trovare un n che minimizza l'errore quadratico totale quando sommando sui punti:

f(n) = sum_i | n.(x_i - p) |^2 

Ora, questo presuppone che sappiamo un certo puntop che giace sul piano. Possiamo facilmente calcolarne uno come centroide, che è semplicemente la media componente dei punti nella nuvola di punti e giacerà sempre sul piano dei minimi quadrati.

Soluzione

Definiamo una matrice M cui ogni riga è il ith punto x_i meno il baricentro c, siamo in grado di ri-scrittura:

f(n) = | M n |^2 

si dovrebbe essere in grado di convincere te stesso che questa versione di moltiplicazione della matrice è uguale alla somma dell'equazione precedente.

È quindi possibile prendere singular value decomposition di M, e il n si desidera è poi dato dal diritto singolare vettore di M che corrisponde al più piccolo valore singolare.

Per incorporare i pesi è sufficiente per definire un peso w_i per ogni punto. Calcolare c come media ponderata dei punti, e cambiare sum_i | n.(x_i - c) |^2 a sum_i | w_i * n.(x_i - c) |^2, e la matrice M in modo simile. Allora risolvi come prima.

Answer 2

Moltiplicare ogni termine in ciascuna somma per il peso corrispondente. Ad esempio:

fSumZ += weight * pos[2]; 
fSumXX += weight * pos[0]*pos[0]; 

Poiché pointCloude.size() è la somma di 1 per tutti i punti, deve essere sostituito con la somma di tutti i pesi.

Answer 3

Iniziare dalla ridefinizione del calcolo dell'errore quadratico minimo. La formula cerca di minimizzare la somma dei quadrati di errori. Moltiplicare l'errore al quadrato con una funzione di due punti che diminuisce con la loro distanza. Quindi provare a minimizzare la somma ponderata degli errori al quadrato e ricavarne i coefficienti.